BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Matematika
adalah suatu ilmu yang sering kali dianggap sulit oleh para pelajar maupun
dikalangan masyarakat. Walaupun demikian kehidupan kita sehari-hari tidak
terlepas dari matematika, salah satunya mengenai sistem bilangan. Sistem
bilangan adalah hak pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan
sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini
terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini
adalah mengenai sistem bilangan real.
1.2 Rumusan masalah
1. Apa
yang dimaksud dengan sistem bilangan real?
2. Bagaimana
sifat-sifat yang terdapat dalam pertidaksamaan dan nilai mutlak?
1.3 Tujuan
1. Untuk
mengetahui sistem bilangan real.
2. Untuk
mengetahui tentang sifat-sifat yang terdapat dalam pertidaksamaan dan nilai
mutlak.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sistem Bilangan Real
Sebelum
membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali
tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan
himpunan atau kelas atau koleksi dari obejk-objek yang didefinisikan dengan
jelas. Misalnya himpunan huruf kapital yang tediri dari A, B, C, D, ...., Z.
Setiap karakter A, B, C, D, ..., Z yang termasuk di dalam himpunan huruf
kapital tersebut dinamakan anggota atau elemen dari himpunan yang dimaksud.
Beberapa himpunan yang seluruh anggotanya terdapat dalam himpunan huruf kapital
tersebut, misalnya himpunan A, B, C, disebut dengan subset atau himpunan bagian
dari A, B, C, ..., Z. Suatu himpunan yang tidak memiliki elemen disebut
himpunan kosong yang dinotasikan dengan ∅
atau { }.
Berkut
ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.
a. Himpunan
bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ℕ = {1, 2, 3, ...}. Bilangan
asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga
disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
b. Himpunan
bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,
...}.
c. Himpunan
bilangan rasional; misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan ℚ. Secara umum, bentuk
bilangan rasional dituliskan sebagai ℚ =
d. Himpunan
bilangan irasional; misalnya { 2, 3 7 , π, dsb}, merupakan bilangan yang tidak
rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m n dengan m dan
n bilangan bulat dan n ≠ 0.
Himpunan
bilangan real sendiri dinotasikan dengan ℝ
merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat
digunakan untuk mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan
tersebut, dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk
titik-titik yang berada di sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ,
bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal
(biasanya diberi label 0). Walaupun mustahil untuk menampilkan seluruh label
tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan
real yang unik.
2.2 Operasi pada Bilangan Real
Misalkan
a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:
a. Tertutup
terhadap penjumlahan dan perkalian
Hasil
operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat real.
b. Komutatif
terhadap penjumlahan dan perkalian
a +
b = b + a dan ac = ca
c. Assossiatif
terhadap penjumlahan dan perkalian
a +
(b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c
d. Distributif
a(b
+ c) = ab + ac
e. Memiliki
elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan, dan 1 adalah
elemen identitas terhadap perkalian).
a +
0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a
f. Memiliki
invers
Terhadap
penjumlahan; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x + a =
a + x = 0. Dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan real a terhadap
operasi penjumlahan adalah -a.
Terhadap
perkalian; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x a = a
x = 1. Dalam hal ini x =
.
Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi Perkalian adalah
Dari
sifat bilangan real tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan
pembagian sebagai a – b = a + (-b) dan
=
2.3 Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak
2.3.1
Pertidaksamaan
Jika
a – b adalah bukan bilangan negatif, maka a lebih besar atau sama dengan b,
ditulis a ≥ b, atau b lebih kecil dari atau sama dengan a, ditulis b ≤ a. Jika
bilangan tersebut selain a = b, maka a > b atau b < a. Secara geometri, a
> b jika koordinat a berada di sebelah kanan dari koordiat b.
Misalkan
a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:
a. Trikotomi
Tepat
satu diantara yang berikut ini berlaku:a > b, a = b, atau a < b.
b. Transitif
Jika
a > b dan b > c maka a > c
c. Penambahan
Jika
a > b maka a + c > b + c
d. Perkalian
·
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
·
Jika a > b dan c < 0 maka ac <
bc
Menyelesaikan
suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan tersebut menjadi suatu pernyataan yang benar. Berbeda dengan
persamaan yang himpunan penyelesaiannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau
mungkin sejumlah berhingga bilangan saja, himpunan penyelesaian suatu
pertidaksamaan biasanya terdiri dar suatu keseluruhan interval bilangan atau
dalam beberapa kasus gabungan dari interval-interval yang demikian.
Pertidaksamaan
a < x < b menunjukkan interval terbuka, dinotasikan dengan (a, b), yang
terdiri dari semua bilangan antara a dan b tidak termasuk a dan b. sementara a
≤ x ≤ b menunjukkan interval tertutup, dinotasikan dengan [a, b], yang terdiri
dari semua bilangan antara a dan b termasuk a dan b itu sendiri. Selengkapnya
perhatikan beberapa-beberapa permisalan berikut:
|
Penulisan
Himpunan
|
Penulisan
Interval
|
Grafik
|
|
|
{x
| a < x < b}
|
(a,
b)
|
a b
|
|
|
{x
| a ≤ x ≤ b}
|
[a,
b]
|
a b
|
|
|
{x
| x < a}
|
(-∞,
a)
|
a
|
|
|
{x
| x ≥ b}
|
[b,
∞)
|
b
|
Contoh
Selesaikan
pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
Penyelesaian:
2x –
7 < 4x – 2
⇔ 2x < 4x + 5 (kedua ruas
ditambahkan 7)
⇔ -2x < 5 (kedua ruas ditambahkan (-4x))
⇔ x > -5/2 (kedua ruas dikalikan (-1/2))
Jadi
himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > -5/2}. Notasi intervalnya adalah
(-5/2, ∞). Grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
-5/2
2.3.2
Nilai
Mutlak
Nilai
mutlak dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan |a|, berharga a untuk a
> 0, -a untuk a < 0, dan 0 untuk a = 0. Perhatikan notasi berikut :
|a|
=
Nilai
mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi
tidak sama halnya dengan proses penambahan dan pengurangan. Perhatikan
sifat-sifat nilai mutlak berikut :
a. |ab|
= |a| |b|
b.
=
c. |a
+ b|
|a| + |b|
d. |a
– b|
|a| - |b|
e. Pertidaksamaan
yang melibatkan nilai mutlak
·
|x| < a ⇔ -a < x < a
·
|x| > a ⇔ x < -a atau x > a
Contoh
Tentukan
himpunan penyelesaian dari |x – 4| < 2.
Penyelesaian:
|x –
4| < 2
⇔-2 < x – 4 < 2
⇔-2 + 4 < x < 2 + 4
⇔2 < x < 6
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x | 2 < x < 6} atau (2, 6).
2.4
Latihan
Soal
Tentukan
solusi dari pertidaksamaan berikut
a. 2x –
4 > x + 3
b.
> 3
c.
d. |2x
– 3|
e. |5
-
| < 1
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
§ Himpunan
bilangan real sendiri dinotasikan dengan ℝ
merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat
digunakan untuk mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan
tersebut, dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk
titik-titik yang berada di sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ,
bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal
(biasanya diberi label 0). Walaupun mustahil untuk menampilkan seluruh label
tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan
real yang unik.
§ Sifat-sifat
pertidaksamaan:
a. Trikotomi
Tepat
satu diantara yang berikut ini berlaku:a > b, a = b, atau a < b.
b. Transitif
Jika
a > b dan b > c maka a > c
c. Penambahan
Jika
a > b maka a + c > b + c
d. Perkalian
·
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
·
Jika a > b dan c < 0 maka ac <
bc
§ Sifat-sifat
nilai mutlak:
a. |ab|
= |a| |b|
b.
=
c. |a
+ b|
|a| + |b|
d. |a
– b|
|a| - |b|
e. Pertidaksamaan
yang melibatkan nilai mutlak
·
|x| < a ⇔ -a < x < a
·
|x| > a ⇔ x < -a atau x > a
DAFTAR PUSTAKA
Mursita,
Danag. 2007. Matematika Dasar Untuk
Perguruan Tinggi. Bandung : Rekayasa Sains.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar